ما هو الفرق بين Riemann لا يتجزأ و Riemann Stieltjes لا يتجزأ؟


الاجابه 1:

ما هو الفرق بين Riemann لا يتجزأ و Riemann Stieltjes لا يتجزأ؟

يعتبر Riemann Stieltjes جزءًا لا يتجزأ من وظيفة أخرى ، بدلاً من ذلك

abf(x)dx\int_a^b{f(x)dx}

أنه

abf(x)dG(x)\int_a^b{f(x)dG(x)}

. إذا

GG

يمكن تمييزه مع مشتق

gg

، ثم يصبح جزءا لا يتجزأ

abf(x)g(x)dx\int_a^b{f(x)g(x)dx}

. لا علاقة لهذا حتى الآن بتعريف ريمان للتكامل. يمكن للمرء تحديد التكامل باستخدام نهج مختلف (مثل Lebesgue متكاملة).

ماذا إذا

GG

لا يمكن التفريق؟ لنأخذ مثالا ،

G(x)=xG(x) = x

إذا

x<2x < 2

و

G(x)=x+1G(x) = x+1

إذا

x2x \ge 2

.Ifthedomainoftheintegralincludesthepointx=2,theStieltjesintegralwillbetheordinaryintegralplusacontributionduetothejump.. If the domain of the integral includes the point x = 2, the Stieltjes integral will be the ordinary integral plus a contribution due to the jump.

يتم Riemann Steiltjes لا يتجزأ في نفس الطريق. تقسيم المجال إلى عدد محدود من الأجزاء. تقييم

f(x)f(x)

عند نقطة في كل فاصل مضروب في التغيير في

G(x)G(x)

خلال هذا الفاصل وإضافة. ثم خذ الحد حيث يميل طول أطول فترة فرعية إلى الصفر. سترى أن القفزات تؤدي إلى مساهمة تساوي قيمة

f(x)f(x)

في القفزة مضروبة في حجم القفز في

G(x)G(x)

. إذا

f(x)f(x)

isnotcontinuousorthediscontinuityinGisnotsimplyajumpthesituationisslightlymorecomplicated.UsethedefinitionbasedonDarbouxsumsinstead,oruseaLebesgueStieltjesintegral(whichisaLebesgueintegralwithrespecttoadifferentmeasure). is not continuous or the discontinuity in G is not simply a jump the situation is slightly more complicated. Use the definition based on Darboux sums instead, or use a Lebesgue Stieltjes integral (which is a Lebesgue integral with respect to a different measure).