كيف تجد أقصى معدل للتغيير


الاجابه 1:

يعطي المشتق الاتجاهي معدل التغيير في اتجاه معين.

المشتق الاتجاهي هو أساسًا مكون التدرج في هذا الاتجاه. إذن معدل تغير الوظيفة في اتجاه \ hat {\ mathbf {n}} مُعطى بواسطة

\ frac {df} {dn} = \ hat {\ mathbf {n}} \ cdot \ boldsymbol \ nabla f

يمكن أن يرتبط هذا بقاعدة السلسلة التي هي

\ frac {df} {dn} = \ frac {\ جزئي f} {\ جزئي x} \ frac {\ جزئي x} {\ جزئي n} + \ frac {\ جزئي f} {\ جزئي y} \ frac {\ ص جزئي} {\ جزئي n}

\ frac {\ جزئي x} {\ جزئي n} و \ frac {\ جزئي y} {\ جزئي n} يمكن فهمه على أنه تحريك n كمية في \ hat {\ mathbf {n}} ، أي

x = n \ hat {n} _x

y = n \ hat {n} _y

وبالتالي

\ frac {df} {dn} = \ قبعة {n} _x \ frac {\ جزئي f} {\ جزئي x} + \ قبعة {n} _y \ frac {\ جزئي f} {\ جزئي y} = \ قبعة { \ mathbf {n}} \ cdot \ boldsymbol \ nabla f

إذن فقد أوجدنا معدل التغيير في أي اتجاه معطى

\ قبعة {\ mathbf {n}} \ cdot \ boldsymbol \ nabla f

الآن مكون أي متجه هو الحد الأقصى في اتجاهه الخاص. بالنسبة للإحداثيات المتعامدة ، يمكننا فقط الحصول على المكون في اتجاه بواسطة حاصل الضرب القياسي. الحد الأقصى لحاصل الضرب النقطي بزاوية 0.

\ mathbf أ \ cdot \ mathbf ب = | أ || ب | \ كوس \ ثيتا \ ؛ \ ؛ \ ؛ \ ؛ (\ text {max when} \ theta = 0)

لذا فإن معدل التغيير في اتجاه التدرج هو أقصى معدل للتغيير مقارنة بالاتجاهات الأخرى.

على الأقل بافتراض أن التدرج اللوني ليس \ mathbf 0.